二分搜索全攻略

在一个有序数组中查找特定值的时候，二分搜索法是一个很常见且高效的思路，该方法也称为折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法，可以在数据规模的对数时间复杂度内完成查找。

但是在实现二分搜索法的时候，边界条件判断，下标变更计算等地方都很容易出现问题，这些错误会直接导致代码进入死循环或者崩溃。所以，除了在算法层面了解该算法，在代码层面也需要为什么，才能完整掌握该算法。

对于二分搜索法的问题，大体上可以分为两类，第一类是找到一个与给定值相同的值，第二类是找到第一个或者最后一个跟给定值相同的值。其实本质上都是在一个特定区间内反复折半查找。

查找特定值

查找特定值是一个最为常见的操作。先看一个从逻辑推理上是正确的算法实现，代码里的注释标记了最容易出问题的五个地方

int binarySearch(const vector<int> &vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size() - 1;                  // 1

    while (left <= right) {                      // 2
        int mid = left + (right - left) / 2;     // 3
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            return mid;
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;                      // 4
        }
        else if (val > target) {
            right = mid - 1;                     // 5
        }
    }

    return -1;
}

第三点

这是最简单理解的一点，所以将其放置在最前面来讲。

两个数相加的时候，一定要注意溢出错误。一般情况下可以先强制转换为 unsigned long long 进行计算，但此处通过俩下标的差值就可以避免这种额外的转换。

第一点

第一点是最为重要的地方，这个初始值决定了后续易错点的代码应该如何写。

除了示例代码的 vec.size() - 1，此处的取值还可以是 vec.size()。这两个值改变的是算法的搜索区间。当取值是 vec.size() - 1 时，算法在闭区间内搜索，值都位于 [left, right] 中。当取值为 vec.size() 时，算法会在左闭右开区间内搜索，值位于 [left, right) 中。后者也意味着 right 永远指向一个不存在的值。

当搜索区间能够确定下来之后，后续的代码其实就很容易确定了。

第二点

当搜索区间概念能够理解后，此处应该怎么写其实就很容易理解了。

当搜索区间是一个闭区间的时候，left 和 right 所指向的值都是可访问的且未访问的。随着搜索地进行，这两个下标会逐渐接近。经过一轮搜索下标变更后，最极端的情况是 left 等于 right 了。但是在这个时候，它们所指向的值还没有被搜索到。这里可以构造一个大小为 1 的数组帮助理解。初始化的时候，left 和 right 都是 0，此时需要进行一次搜索才能判断结果。所以在这个循环判断条件里，left == right 时不能跳出循环。所以在这种情况下，循环的判断条件是 left <= right。

当搜索区间是一个左闭右开区间时，left 指向的是可访问的且未访问的，但 right 所指向的值是不可访问的。在标准库的实现中，左闭右开区间的 right 通常用于标记结束节点。同样的，随着搜索地进行，这两个值会不断地接近。此处也可以借助于一个大小为 1 的数组来理解。初始化的时候，left 是 0，right 是 1。在这种极端情况下，left 严格小于 right。如果此时进行搜索，一旦发现 left 指向的值不是目标值，下标进行变更之后，二者的值就相同了，搜索宣告结束。

简而言之，搜索持续进行的条件是 left < right，这点毋庸置疑。但是 left 能不能等于 right 就取决于搜索区间，不同的区间下，right 所代表的含义是不同的。

第四点和第五点

同样的，第四点和第五点也是跟搜索区间相关联。

当搜索区间是闭区间的时候，两个子区间应该被划分为 [left, mid - 1] 和 [mid + 1, right]。

当搜索区间是左闭右开区间的时候，两个子区间应该被划分为 [left, mid) 和 [mid + 1, right)。

不管在哪种搜索区间下，任意一个数都应该只被搜索一次。在此基础上，划分出来的两个子区间都应该跟原先的区间保持一致，这样才能保证一次只排除一个数且后续的搜索区间是正确的。

查找特定值的左边界

对于数组 [1,2,2,2,3]，target = 2 的时候，上文的算法只能返回 2 的索引值。如果希望查找 2 这个目标值的左边界，需要对算法做一定的修改。

先来看下示例代码：

int leftBound(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size();

    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            right = mid;                // 重点
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val > target) {
            right = mid;
        }
    }

    return left;
}

原理

这个算法之所以能够找到左边界，重点在于注释所标记的那一句。每次查找到目标值的时候，都会将搜索区间修改为 [left, mid)，不断向左边收缩，直到找出所有的目标值为止。

因为搜索区间是一个左闭右开区间，所以搜索的退出条件是 left < right，原因跟查找目标值的算法一样。从这也可以判断出，退出条件是 left == right，所以最后在返回的时候，任意返回一个变量即可。

返回值

寻找左边界的接口所返回的值其实有一个特殊的含义，即小于目标值的数有多少个。所以对于数组 [1, 2, 2, 2, 3] 的返回值可以有如下解释：

1. 当目标值为 0 时，返回 0，表明该数组有 0 个小于 0 的数
2. 当目标值为 1 时，返回 0，表明该数组有 0 个小于 1 的数
3. 当目标值为 2 时，返回 1，表明该数组有 1 个小于 2 的数
4. 当目标值为 4 时，返回 5，表明该数组有 5 个小于 5 的数

但是这样也带来了一个问题。当返回值为 0 的时候，数组中究竟存不存在目标值呢？所以我们需要破坏左边界返回值的特殊含义，让接口返回值仅仅用于确定目标值左边界的具体下标。一旦不存在该目标值，则返回 -1。

修改后的代码如下所示：

int leftBound(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;

    // ...

    if (left >= vec.size()) return -1;
    if (vec[left] != target) return -1;
    return left;
}

简单解释一下这两句代码。

• 第一个 if 判断用于排除数组中的值都小于目标值的情况，此时 left 的值会等于数组大小
• 第二个 if 判断用于区分当 left == 0 时，无法区分是目标值小于数组所有值还是目标值的左边界恰好位于 0 的情况

查找特定值的右边界

还是一样先看示例代码。注意！该代码并不完整：

int rightBound(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size();

    while (left < right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val > target) {
            right = mid;
        }
    }

    return right;
}

原理

这个算法找有边界的原理跟找左边界是一样的。每次找到目标值的时候，都将搜索区间修改为 [mid + 1, right)，不断收缩左边界，直接符合退出条件。

返回值

由算法的原理可以看出，每次查找到目标值都会收缩左边界。所以如果不加以操作，最终的返回值其实第一个大于目标值的数值所在下标，该返回值表明数组中小于等于目标值的元素个数。所以对于数组 [1, 2, 2, 2, 3] 的返回值可以有如下解释：

1. 当目标值为 0 时，返回 0，表明该数组有 0 个小于等于 0 的数
2. 当目标值为 2 时，返回 4，表明该数组有 4 个小于等于 2 的数
3. 当目标值为 3 时，返回 5，表明该数组有 5 个小于等于 3 的数
4. 当目标值为 4 时，返回 5，表明该数组有 5 个小于等于 4 的数

如果希望找到右边界的下标值，这些返回值明显是不正确的。所以需要略作修改，如下所示：

int rightBound(const vector<int>& vec, int target) {
    // ...

    if (right == 0) return -1;
    if (vec[right - 1] != target) return -1;
    return right - 1;               // 重点
}

简单解释一下这段代码：

1. 第一个 if 用于排除目标值比数组中的值都要小的情况；
2. 第二个 if 用于排除目标值比数组中的值都要大的情况

需要重点关注的是注释所标记的那句返回值语句，这里提供三个角度的理解方法：

1. 由 right 作为返回值所表明的含义可知，正确的右边界下标应该是 right - 1；
2. 每次找到目标值的时候，左边界都会进行一次收缩操作，这个操作的代码是 left = mid + 1。所以这里简单变换一下就可以算出，mid = left - 1；
3. 在这个算法里，搜索区间是左闭右开区间，这意味着 right 所指向的位置都是不可访问的，需要向左前进一位才可以访问

其他搜索区间的代码

二分搜索法的搜索区间有两种，上文讲解的时候只采用了其中一种，现在将三种算法不同搜索区间下的代码展示于下面：

查找特定值

int binarySearch(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size();

    while (left < right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            return mid;
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val > target) {
            right = mid;
        }
    }

    return -1;
}

查找特定值的左边界

int leftBound(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size() - 1;

    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            right = mid - 1;
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val > target) {
            right = mid - 1;
        }
    }

    if (left >= vec.size()) return -1;
    if (vec[left] != target) return -1;
    return left;
}

查找特定值的右边界

int rightBound(const vector<int>& vec, int target) {
    int left = 0;
    int right = vec.size() - 1;

    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int val = vec[mid];
        if (val == target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val < target) {
            left = mid + 1;
        }
        else if (val > target) {
            right = mid - 1;
        }
    }

    if (right < 0) return -1;
    if (vec[right] != target) return -1;
    return right;
}

这里注意一点，当目标值小于数组中的所有值时，right 的值会小于 0，所以此处需要做规避处理。

总结

由上文的讲解可以看出，正确的代码关键之处就在于搜索区间。只有在理解了搜索区间的基础上，才能够正确的写出相应的代码。

查找特定值和查找左右边界的逻辑其实是一样的，都是查找某一个特定的值，不过查找边界的时候需要额外注意边界的返回值问题，以及容错处理。